図形と計量｜正弦定理と余弦定理を扱った問題を解いてみよう

12/18/2021数学１

余弦定理の使い方

問題を解く前に余弦定理の式を思い出してみましょう。

余弦定理

\begin{align*} &\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc\cos A \\[ 7pt ] &\quad b^{2} = a^{2} + c^{2} -2ac\cos B \\[ 7pt ] &\quad c^{2} = a^{2} + b^{2} -2ab\cos C \end{align*}

余弦定理の式は３通りあります。これらの式を使うのは、一般に、辺の長さを求めるときです。このとき、角に注目して使い分けます。たとえば、∠Ｂが与えられていれば、２番目の式を使います。

ただし、角の大きさを求めるときにも余弦定理を使うことがあります。その際には、余弦について変形した式を使います。

余弦、または角の大きさを求めるとき

\begin{align*} &\quad \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} – a^{2}}{2bc} \\[ 10pt ] &\quad \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} – b^{2}}{2ac} \\[ 10pt ] &\quad \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} – c^{2}}{2ab} \end{align*}

どちらの使い方であっても、余弦定理を使うには、三角形の３辺と１つの内角に注目することが大切です。

余弦定理の使い方を整理できたところで、次の問題を解いてみましょう。

余弦定理を扱った問題を解いてみよう

問２(1)の解答・解説

問２(1)

$\triangle ABC$ において、次の値を求めよ。

\begin{align*} \quad b=5 \ , \ c=8 \ , \ A=60^{\circ} \end{align*}

のとき $a$

問題をよく観察しつつ、作図しましょう。辺や角の大小関係を考慮すると、ｃ＝８よりも短くなりそうだと予想できます。

問２(1)は、辺ＢＣの長さａを求める問題です。

辺ＢＣの対角である∠Ａが与えられています。余弦定理において、Ａに対する余弦ｃｏｓＡを含む式を利用します。

１行目にそのまま公式を書き、２行目に数量を代入した式を書きます。

問２(1)の解答例

余弦定理より

\begin{align*} \quad a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc\cos A \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad b=5 \ , \ c=8 \ , \ A=60^{\circ} \end{align*}

より

\begin{align*} \quad a^{2} &= 5^{2} + 8^{2} -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} \\[ 7pt ] &= 25 + 64 -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \\[ 7pt ] &= 49 \end{align*}

$a \gt 0$ より

\begin{align*} \quad a = 7 \end{align*}

予想通りｃ＝８よりも短くなったので大丈夫そうです。念のためミスがないか確認しましょう。

また、余弦定理で辺の長さを求めるとき、さいごに平方根を求める必要があります。このとき、きちんと正負の吟味を忘れないようにしましょう。

問２(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２(2)の解答・解説

問２(2)

$\triangle ABC$ において、次の値を求めよ。

\begin{align*} \quad a=13 \ , \ b=8 \ , \ c=7 \end{align*}

のとき $A$

問２(2)は、∠ＢＡＣの大きさＡを求める問題です。

問題をよく観察しつつ、作図してみましょう。作図するとき、３辺の大小関係を意識しましょう。作図の結果、求めたいＡは鈍角になるだろうと予想できます。

角を求めるので、余弦定理の式をそのままでは使い勝手が悪いです。ですから、Ａに対する余弦ｃｏｓＡについて変形した式を利用します。

問２(2)の解答例

余弦定理より

\begin{align*} \quad \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} -a^{2}}{2bc} \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad a=13 \ , \ b=8 \ , \ c=7 \end{align*}

より

\begin{align*} \quad \cos A &= \frac{8^{2} + 7^{2} -13^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 7pt ] &= \frac{64 + 49 -169}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 7pt ] &= \frac{-56}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 7pt ] &= -\frac{1}{2} \end{align*}

$0^{\circ} \lt A \lt 180^{\circ}$ より

\begin{align*} \quad A = 120^{\circ} \end{align*}

予想通りＡは鈍角になったので大丈夫そうです。念のためミスがないか確認しましょう。

また、余弦ｃｏｓＡからＡの値を求めるとき、角のとり得る範囲を示して、Ａの値を求めましょう。

問２(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

余弦や正弦の値から角の大きさを求めるには、三角比の方程式で学習したことを利用しましょう。このとき、角の範囲の確認と作図をセットにして求める習慣を付けておきましょう。

図形と計量｜三角比の方程式について

分母の掛け算はそのままにしておこう

数を代入した後、計算に進みますが、何でもその都度計算すれば良いというわけではありません。計算のルールを守っていれば、その順序は前後しても構いません。

問２(2)で言えば、分母にある２・８・７の乗算は、分子にある６４＋４９－１６９の加算が終わるまでそのままにしておきます。分子の整理が終わると、約分できる可能性が高いからです。

分子の計算を最優先しよう

\begin{align*} \quad \cos A &= \frac{8^{2} + 7^{2} -13^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 10pt ] &= \frac{64 + 49 -169}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 10pt ] &= \frac{-56}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 10pt ] &= \frac{-8 \cdot 7}{2 \cdot 8 \cdot 7} \\[ 10pt ] &= -\frac{1}{2} \end{align*}

分母が２・８・７のままであれば、因数に分解されているので、約分しやすいはずです。約分のコツは、因数を考えることです。

乗算してしまうと、せっかくの因数が分からなくなります。しかも、数が２・８・７＝１１２と大きくなるので、扱い辛くなってしまいます。

１１２と５６の約分よりも、２・８・７と５６の約分の方がやりやすいでしょう。５６の因数は７，８なので、約分できることはすぐに分かります。

計算全般で言えることは、できるだけ小さい数で扱うことです。この辺りは経験がものを言うので、コツコツ計算演習を重ねていきましょう。

基本的に、数が大きくなればなるほど、約分するのが大変になり、場合によっては約分を見逃す可能性があるので注意しよう。

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図形の問題は、気付けないと全くと言って良いほど手も足も出なくなります。気付けるかどうかはやはり日頃から作図したり、図形を色んな角度から眺めたりすることだと思います。

そのためにもやはり演習量は大切です。はじめのうちは何事も質よりも量の方を意識してこなす方が良いと思います。全体を一度通ってから質を考えると効率が良いでしょう。

演習をこなすとなると、単元別になった教材を使って集中的にこなすと良いでしょう。網羅型でも良いですが、苦手意識のある単元であれば、単元別に特化した教材の方が良いかもしれません。

オススメその１

分野ごとに押さえていくのに役立つのは『高速トレーニング』シリーズです。三角関数、ベクトル、数列などの分野もあります。

ここで紹介するのは『数学１高速トレーニング三角比編』です。

三角比に苦手意識のある人にとって、躓きやすいところを解説してあるので良い教材だと思います。基礎の定着に向いた教材です。

これで自信がついたら、チャートなどのもう少し難易度の高い問題を扱った教材に取り組むと良いでしょう。三角比は三角関数に関わるので、ここでしっかりマスターしておきましょう。

数学１高速トレーニング三角比編

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オススメその２

『改訂版坂田アキラの三角比・平面図形が面白いほどわかる本』もおすすめです。

計算過程が省略されず、丁寧に記述されているので、計算の途中で躓くこともほとんどないでしょう。苦手な人や初学者にとって良い補助教材になると思います。

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数学１「図形と計量」（いわゆる三角比）と数学Ａ「図形の性質」の基本事項をまとめ、それぞれの典型問題および融合問題の考え方・解き方がていねいに解説されています。

また、今回の改訂により、近年の大学入試（上位から下位まで幅広く）で頻出の空間図形の問題を厚くしました。