図形と計量｜空間図形への応用について

12/18/2021数学１

直方体を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

設問全体に目を通すと、問２(2)に「ｃｏｓθ」という用語が出てきているので、やはり三角比を使うだろうと予想できます。

また、問２(3)で三角形の面積を求めるために、それまでに必要な数量を求めておく必要があります。計算ミスをしないように気を付けましょう。

問２(1)の解答・解説

問２(1)

直方体 $ABCD-EFGH$ において、$AB=\sqrt{6} \ , \ AD=\sqrt{3} \ , \ AE=1$ であるとき、次のものを求めなさい。

$\quad AC \ , \ AF \ , \ AH$ の長さ

作図すると以下のような図が描けます。必要に応じて面を抜き出して、２次元で考えるようにします。

また、直方体を部分的に展開した図も描いておきます。

展開図にすると辺の関係がよく分かります。線分ＡＣ、ＡＦ，ＡＨは長方形の対角線であるので、それらの長さを三平方の定理で求めます。解答例は以下のようになります。

問２(2)の解答・解説

問２(2)

直方体 $ABCD-EFGH$ において、$AB=\sqrt{6} \ , \ AD=\sqrt{3} \ , \ AE=1$ であるとき、次のものを求めなさい。

$\quad \angle ACF= \theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値

問２(1)で求めたＡＣ，ＡＦ，ＡＨの長さも必要に応じて使いましょう。

∠ＡＣＦに注目しているので、∠ＡＣＦを含む面である△ＡＣＦを考えます。

△ＡＣＦは直方体の内部にできる三角形です。ただし、問２(1)で３辺の長さを求めたので、３辺の長短に注意して抜き出します。ちなみに線分ＣＦの長さは、線分ＡＨの長さに等しいことを利用します。

△ACFの３辺の長さが分かっているので、余弦定理を利用すれば∠ＡＣＦ＝θとしたときのｃｏｓθの値を求めることができます。

問２(2)の解答例

$\triangle ACF$ において、余弦定理より

\begin{align*} \quad \cos \theta &= \frac{{AC}^{2} + {CF}^{2} – {AF}^{2}}{2 \cdot AC \cdot CF} \\[ 7pt ] &= \frac{{3}^{2} + {2}^{2} – {\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 2} \end{align*}

余弦定理の式に数を代入したら、ミスのないように計算していきます。解答例の続きは以下のようになります。

余弦や正弦の値（ｃｏｓθやｓｉｎθ）からθを求めるとき、吟味のためにθの範囲が必要です。三角形の内角であるときには、０°＜θ＜１８０°です。

また、次の問２(3)で△ＡＣＦの面積を求める必要があるので、正弦ｓｉｎθの値を求めておきました。

問２(3)の解答・解説

問２(3)

直方体 $ABCD-EFGH$ において、$AB=\sqrt{6} \ , \ AD=\sqrt{3} \ , \ AE=1$ であるとき、次のものを求めなさい。

$\quad \triangle ACF$ の面積 $S$

問２(1)，(2)で求めたＡＣ，ＡＦ，ＡＨの長さやｃｏｓθも必要に応じて使いましょう。

△ＡＣＦの面積Ｓを求めるためには、正弦ｓｉｎθの値が必要になります。第２問(2)で余弦ｃｏｓθの値を利用します。

余弦ｃｏｓθの値から正弦ｓｉｎθの値を求めるとき、一番利用するのが三角比の相互関係です。ただし、今回は∠θの大きさが分かるので、∠θの大きさを利用して正弦ｓｉｎθの値を求めても良いでしょう。

正弦ｓｉｎθの値は問２(2)で求めたので、△ＡＣＦの面積を求めます。三角比を用いた三角形の面積の公式を利用します。

問２(3)の解答例

$\triangle ACF$ の面積 $S$ を求めると

\begin{align*} \quad S &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CF \sin \theta \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

公式に数を代入した後はミスのないように計算します。解答例の続きは以下のようになります。

平面図形、空間図形に限らず、できるだけ正確に作図しましょう。正確に作図できれば、長さの関係や角の大きさを予想でき、計算ミスに気付けることもあります。

入試でも作図の重要度が高くなっているので、作図する習慣を付けておいた方が無難でしょう。ちょっとした作図で気付きを得ることもできるので、面倒がらずに手を動かしましょう。

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図形の問題は、気付けないと全くと言って良いほど手も足も出なくなります。気付けるかどうかはやはり日頃から作図したり、図形を色んな角度から眺めたりすることだと思います。

そのためにもやはり演習量は大切です。はじめのうちは何事も質よりも量の方を意識してこなす方が良いと思います。全体を一度通ってから質を考えると効率が良いでしょう。

演習をこなすとなると、単元別になった教材を使って集中的にこなすと良いでしょう。網羅型でも良いですが、苦手意識のある単元であれば、単元別に特化した教材の方が良いかもしれません。

オススメその１

分野ごとに押さえていくのに役立つのは『高速トレーニング』シリーズです。三角関数、ベクトル、数列などの分野もあります。

ここで紹介するのは『数学１高速トレーニング三角比編』です。

三角比に苦手意識のある人にとって、躓きやすいところを解説してあるので良い教材だと思います。基礎の定着に向いた教材です。

これで自信がついたら、チャートなどのもう少し難易度の高い問題を扱った教材に取り組むと良いでしょう。三角比は三角関数に関わるので、ここでしっかりマスターしておきましょう。

数学１高速トレーニング三角比編

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オススメその２

『改訂版坂田アキラの三角比・平面図形が面白いほどわかる本』もおすすめです。

計算過程が省略されず、丁寧に記述されているので、計算の途中で躓くこともほとんどないでしょう。苦手な人や初学者にとって良い補助教材になると思います。

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数学１「図形と計量」（いわゆる三角比）と数学Ａ「図形の性質」の基本事項をまとめ、それぞれの典型問題および融合問題の考え方・解き方がていねいに解説されています。

また、今回の改訂により、近年の大学入試（上位から下位まで幅広く）で頻出の空間図形の問題を厚くしました。