図形の性質｜２円の位置関係について

11/06/2021数学Ａ

２円の位置関係を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問１の解答・解説

問１

$2$ 円 $O \ , \ O’$ の半径がそれぞれ $3$ と $5$ で、 $2$ 円の中心間の距離を $d$ とする。 $2$ 円が接するときの $d$ の値を求めよ。

問１は、２円が接するときの中心間の距離を求める問題です。注意したいのは「２円が接するとき」という文言です。

２円が接するのは、外接するときと内接するときの２通りあります。よく忘れがちなので、一方のときだけにならないように注意しましょう。

中心間の距離は、２円が外接するときであれば、２円の半径の和で表され、２円が内接するときであれば、２円の半径の差で表されます。

２円が外接するときと内接するときとに分けて、中心間の距離ｄを求めます。

問１の解答例

$2$ 円が外接するとき

$\begin{align*} \quad d = 5+3=8 \end{align*}$

$2$ 円が内接するとき

$\begin{align*} \quad d = \left|5-3 \right|=2 \end{align*}$

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

２円が接するときの中心間の距離

$2$ 円が外接するとき

$\begin{align*} \quad d = r+r’ \end{align*}$

$2$ 円が内接するとき

$\begin{align*} \quad d = \left|r-r’ \right| \end{align*}$

ただし

$\begin{align*} \quad d &\cdots \text{$2$ 円の中心間の距離} \\[ 5pt ] r &\cdots \text{円 $O$ の半径} \\[ 5pt ] r’ &\cdots \text{円 $O’$ の半径} \end{align*}$

問２の解答・解説

問２

$2$ 円 $O \ , \ O’$ について、円 $O’$ が円 $O$ の外部にあるとき、共通接線の本数を求めよ。

問２は、共通接線の本数を求める問題です。「円Ｏ’が円Ｏの外部にある」という条件に注意して作図しましょう。

描き洩らしのないように作図して、共通接線の本数を数えます。作図の結果から、共通接線は４本できることが分かります。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問３の解答・解説

問３

次の図において、線分 $AB$ の長さを求めよ。ただし、直線ℓは $2$ 円 $O \ , \ O’$ にそれぞれ $A \ , \ B$ で接している。

問３は、線分ＡＢの長さを求める問題です。線分ＡＢの長さは接点間の距離です。

接点Ａ，Ｂが同じ上側にできているので、１つ目のパターンです。中心Ｏ’を通り、接線ℓに平行な直線を引き、直角三角形を作ります。

ＡＢ＝Ｏ’Ｃであるので、ＡＢの代わりに辺Ｏ’Ｃの長さを求めます。△ＯＯ’Ｃにおいて、三平方の定理を利用して立式します。立式できれば、あとは計算問題です。

問３の解答例

$\triangle OO’C$ において、三平方の定理より

$\begin{align*} \quad {OO’}^2 = {OC}^2 + {O’C}^2 \end{align*}$

ここで

$\begin{align*} \quad OC &= 8-3 \\[ 7pt ] &= 5 \\[ 7pt ] OO’ &= 13 \end{align*}$

これらと $O’C = AB$ より

$\begin{align*} \quad {13}^2 = 5^2 + {AB}^2 \end{align*}$

よって

$\begin{align*} \quad {AB}^2 &= 13^2 – 5^2 \\[ 7pt ] &= 169 – 25 \\[ 7pt ] &=144 \end{align*}$

$AB \gt 0$ より

$\begin{align*} \quad AB=12 \end{align*}$

問３のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

ちなみに、３辺の比が５：１２：１３となる直角三角形であることに気付けば、計算なしで接点間の距離を求めることができます。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

２円の位置関係によって、中心間の距離と半径の関係が異なる。
２円の位置関係によって、共通接線の本数が異なる。
中心間の距離と半径の関係によって、２円の共有点の数も異なることにも注意する。
接点間の距離を求めるとき、平行線を引いて直角三角形をつくるのがポイント。

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Posted by kiri

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