複素数と方程式｜２次式の因数分解について

05/24/2021数学２

今回は、２次式の因数分解について学習しましょう。２次方程式の解と係数の関係に関わってくるので、しっかりとマスターしましょう。

２次式の因数分解

一般に、２次方程式の左辺は２次式となっています。この２次式を因数分解することによって、２次方程式の解を求めることができます。

もし、因数分解できない２次式であれば、解の公式を利用すると、解を求めることができます。

たとえば、２次方程式の２つの解が分かっているとします。このとき、以下のように左辺の２次式を因数分解できるはずです。

２次式の因数分解 1⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$2$ 次方程式の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{と因数分解できる。} \end{align*}$

上述のことが成り立つのは、これまで２次方程式を解いてきた経験から理解できるでしょう。このように因数分解できることから、さらに以下のことも分かります。

２次式の因数分解 2⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{が $2$ つの解} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{をもつとき、$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\text{の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad x-\alpha \ , \ x-\beta \\[ 7pt ] &\text{を因数にもつ。} \end{align*}$

このことは、あとで学習する剰余の定理や因数定理と関わってくるので覚えておくと良いでしょう。

また、係数が実数である２次式であれば、複素数の範囲で常に１次式の積に因数分解できることも覚えておきましょう。「複素数の範囲で」という文言に注意しましょう。

２次式を複素数の範囲で因数分解する

係数が実数である２次式を、複素数の範囲で因数分解してみましょう。

例題

$\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3 \\[ 7pt ] &(2) \quad x^{\scriptsize{2}}+4 \end{align*}$

どちらの２次式も係数が実数であることを確認しましょう。このような２次式であれば、複素数の範囲で常に１次式の積に因数分解できます。

例題(1)の解答・解説

例題(1)

$\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 \end{align*}$

これまでであれば、与式は因数分解できない２次式として扱われていました。しかし、平方根や複素数の知識を利用すれば因数分解することができます。

まず、２次方程式にして解を求めます。

例題(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = 0 \\[ 7pt ] &\text{を解くと} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}} = 3 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \sqrt{3} \end{align*}$

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = \pm \sqrt{3} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = \left(x+\sqrt{3} \right)\left(x-\sqrt{3} \right) \end{align*}$

平方根を用いて因数分解することができました。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

$\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 \end{align*}$

例題(1)と同じ要領で解きます。２次方程式にして解を求めます。

例題(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = 0 \\[ 7pt ] &\text{を解くと} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}} = -4 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \sqrt{-4} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm 2i \end{align*}$

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = \pm 2i \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = \left(x+2i \right)\left(x-2i \right) \end{align*}$

複素数を用いて因数分解することができました。

例題から分かるように、２次式の因数分解では、２次方程式の解を利用します。

２次式の因数分解の手順

「与式＝０」の形にして、２次方程式にする。
２次方程式の解を求める。
解を利用して、因数分解する。
解がα，βなら、ｘ－α，ｘ－βが２次式の因数

例題では、基本通りの手順で因数分解していますが、平方根や複素数の計算をしっかりとマスターしておけば、２次方程式を作ることなく因数分解できるようになります。

次は、２次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri

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