図形の性質|多面体について

数学A

数学A 図形の性質(別バージョン)

多面体を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

多面体を扱った問題

問(1)の解答・解説

問(1)

立方体 $ABCD-EFGH$ を $3$ 点 $B , \ D , \ G$ を通る平面で切り取った多面体 $ABD-EFGH$ について、頂点の数 $v$、辺の数 $e$、面の数 $f$ を求めよ。

問(1)は、与えられた多面体の頂点、辺、面の数をそれぞれ求める問題です。与えられた多面体は、立方体から三角錐を取り除かれた形をしています。

立体の名称(表し方)には規則があります。規則を守って名称を記述しましょう。

角柱のように底面2つのものは、底面-底面のように表す。また、角錐のように頂点1つ、底面1つのものは、頂点-底面のように表す。多面体ABD-EFGHは、面ABDと面EFGHを底面とする立体を表す。

三角錐が取り除かれるので、三角錐が残ったままだと数え間違う可能性があります。ケアレスミスを減らすために、多面体ABD-EFGHを自分で作図しましょう。

三角錐を取り除く前と比べてみると、全く違って見えるはずです。

多面体を扱った問題の図
多面体ABD-EFGH

自分で作図した多面体を見ながら数えていきます。数えるときのコツは、上から下へ、または右から左へなど、自分なりにルールを決めて数えたり、数えた頂点や辺に印をつけたりすることです。

問(1)の解答例

多面体 $ABD-EFGH$ の上側から下側へ順に数えていく。

頂点の数 $v$ : $v=7$

辺の数 $e$ : $e=12$

面の数 $f$ : $f=7$

問(2)の解答・解説

問(2)

立方体 $ABCD-EFGH$ を $3$ 点 $B , \ D , \ G$ を通る平面で切り取った多面体 $ABD-EFGH$ について、$v – e + f$ の値を求めよ。

問(2)は、オイラーの多面体定理を扱った問題です。オイラーの多面体定理を知っていれば、計算せずに答えを出すことができます。

オイラーの多面体定理

\begin{align*} &\quad \text{(頂点の数)}-\text{(辺の数)}+\text{(面の数)} = 2 \\[ 7pt ] &\text{または} \\[ 5pt ] &\quad \text{(頂点の数)} + \text{(面の数)} = \text{(辺の数)} + 2 \end{align*}

問(1)で求めた頂点、辺、面の数を与式に代入して計算します。

問(2)の解答例

\begin{align*} &(1) \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad v – e + f = 7-12+7=2 \end{align*}

オイラーの多面体定理の式を満たしていることが分かります。

問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

多面体を扱った問題の解答例
問のポイントと解答例

立体を分割した問題になると、自分で作図した方が良い場合が多いです。基本的には込み入った計算がなく、辺や面の数を正しく数え上げれば良いので、それほど難易度は高くありません。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 正多面体は5種類。
  • 正多面体について、面の形や面の数などを覚えておこう。
  • 立体を分割してできた多面体の扱いには注意しよう。
  • オイラーの多面体定理を知っておくと、頂点、辺、面の数の検算ができる。