図形の性質｜多面体について
多面体を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問(1)の解答・解説
問(1)
立方体 $ABCD-EFGH$ を $3$ 点 $B , \ D , \ G$ を通る平面で切り取った多面体 $ABD-EFGH$ について、頂点の数 $v$、辺の数 $e$、面の数 $f$ を求めよ。
問(1)は、与えられた多面体の頂点、辺、面の数をそれぞれ求める問題です。与えられた多面体は、立方体から三角錐を取り除かれた形をしています。
立体の名称（表し方）には規則があります。規則を守って名称を記述しましょう。
角柱のように底面２つのものは、底面－底面のように表す。また、角錐のように頂点１つ、底面１つのものは、頂点－底面のように表す。多面体ＡＢＤ－ＥＦＧＨは、面ＡＢＤと面ＥＦＧＨを底面とする立体を表す。
三角錐が取り除かれるので、三角錐が残ったままだと数え間違う可能性があります。ケアレスミスを減らすために、多面体ＡＢＤ－ＥＦＧＨを自分で作図しましょう。
三角錐を取り除く前と比べてみると、全く違って見えるはずです。
自分で作図した多面体を見ながら数えていきます。数えるときのコツは、上から下へ、または右から左へなど、自分なりにルールを決めて数えたり、数えた頂点や辺に印をつけたりすることです。
問(1)の解答例
多面体 $ABD-EFGH$ の上側から下側へ順に数えていく。
頂点の数 $v$ ： $v=7$
辺の数 $e$ ： $e=12$
面の数 $f$ ： $f=7$
問(2)の解答・解説
問(2)
立方体 $ABCD-EFGH$ を $3$ 点 $B , \ D , \ G$ を通る平面で切り取った多面体 $ABD-EFGH$ について、$v – e + f$ の値を求めよ。
問(2)は、オイラーの多面体定理を扱った問題です。オイラーの多面体定理を知っていれば、計算せずに答えを出すことができます。
オイラーの多面体定理
\begin{align*} \quad \text{（頂点の数）}-\text{（辺の数）}+\text{（面の数）} = 2 \end{align*}または
\begin{align*} \quad \text{（頂点の数）} + \text{（面の数）} = \text{（辺の数）} + 2 \end{align*}問(1)で求めた頂点、辺、面の数を与式に代入して計算します。
問(2)の解答例
$(1)$ より
\begin{align*} \quad v – e + f &= 7-12+7 \\[ 7pt ] &=2 \end{align*}オイラーの多面体定理の式を満たしていることが分かります。
問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
立体を分割した問題になると、自分で作図した方が良い場合が多いです。基本的には込み入った計算がなく、辺や面の数を正しく数え上げれば良いので、それほど難易度は高くありません。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 正多面体は５種類。
- 正多面体について、面の形や面の数などを覚えておこう。
- 立体を分割してできた多面体の扱いには注意しよう。
- オイラーの多面体定理を知っておくと、頂点、辺、面の数の検算ができる。