図形の性質｜方べきの定理について
方べきの定理の逆の証明
方べきの定理の逆が成り立つには、いずれかの条件を満たす必要がありました。
方べきの定理の逆が成り立つための条件
- ２つの線分ＡＢ，ＣＤ、またはそれぞれの延長の交点をＰとするとき、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤ（①式）が成り立つ。
- 円の外部の点Ｐを通る直線が円と２点Ａ，Ｂで交わるとき、円周上の点Ｔについて、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ2（②式）が成り立つ。
それぞれの条件を満たすとき、方べきの定理の逆が成り立つことを証明してみましょう。
方べきの定理の逆の証明（パターン①，②）
「２つの線分ＡＢ，ＣＤ、またはそれぞれの延長の交点をＰとするとき、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤ（①式）が成り立つならば、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にある」ことを証明します。
図１は、２つの線分ＡＢ，ＣＤが円の内部で交わって交点Ｐができるときの図です（パターン①）。
また、図２は、２つの線分ＡＢ，ＣＤの延長線が円の外部で交わって交点Ｐができるときの図です（パターン②）。
それぞれの図で、ＡとＣ、ＢとＤを結んで△ＰＡＣと△ＰＤＢを作ります。
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤが成り立つので、この式を比例式に戻します。
方べきの定理の式から比例式へ
\begin{align*} \quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \end{align*}が成り立つので、これを変形して
\begin{align*} \quad \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \end{align*}よって
\begin{align*} \quad PA:PD = PC:PB \end{align*}積の形から比の値へと変形し、最後に比例式を導出しています。比例式をじかに導出できる場合、比の値を省略しても構いません。
この比例式から、図１，２の△ＰＡＣと△ＰＤＢにおいて、２組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、∠ＡＰＣ＝∠ＤＰＢ（対頂角または共通角）が成り立ちます。
以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、図１，２において、△ＰＡＣ∽△ＰＤＢであることが分かります。
△ＰＡＣと△ＰＤＢが相似な図形であることを利用して、対応する角の関係を導きます。
図１において、対応する角の関係から、∠ＡＣＰ＝∠ＤＢＰ（∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤ）となります。これより、２点Ｂ，Ｃが直線ＡＤの同じ側にあって、∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＤです。
円周角の定理の逆が成り立つので、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあることが分かります。
また、図２において、対応する角の関係から、∠ＡＣＰ＝∠ＡＢＤとなります。これより、四角形ＡＢＣＤにおいて、１つの内角とその対角の外角が等しくなります。
円に内接する四角形の条件が成り立つので、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同一円周上にあることが分かります。
方べきの定理の逆の証明（パターン①，②）をまとめると以下のようになります。
方べきの定理の逆の証明（パターン③）
「円の外部の点Ｐを通る直線が円と２点Ａ，Ｂで交わるとき、円周上の点Ｔについて、ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ2（②式）が成り立つならば、直線ＰＴは円の接線である」ことを証明します。
図３は、弦の延長線と接線が円の外部で交わる図です（パターン③）。
ＡとＴ、ＢとＴを結んで△ＰＡＴと△ＰＴＢを作ります。
ＰＡ・ＰＢ＝ＰＴ2が成り立つので、この式を比例式に戻します。
方べきの定理の式から比例式へ
\begin{align*} \quad PA \cdot PB = {PT}^2 \end{align*}が成り立つので、これを変形して
\begin{align*} \quad \frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB} \end{align*}よって
\begin{align*} \quad PA:PT = PT:PB \end{align*}この比例式から、△ＰＡＴと△ＰＴＢにおいて、２組の辺の比が等しいことが分かります。これに加え、図３において、∠ＡＰＴ＝∠ＴＰＢ（共通角）が成り立ちます。
以上のことから、三角形の相似条件を満たすことが分かり、△ＰＡＴ∽△ＰＴＢであることが分かります。
△ＰＡＴと△ＰＴＢが相似な三角形であることを利用して、対応する角の関係を導きます。
図３において、対応する角の関係から、∠ＡＴＰ＝∠ＴＢＰとなります。
これより、接弦定理の逆が成り立つので、直線ＰＴは円に接することが分かります。
記載されていない教科書があるかもしれませんが、接弦定理の逆は成り立ちます。
参考：接弦定理の逆
円Ｏの弧ＡＢと半直線ＴＡが直線ＡＢに関して同じ側にあって、弧ＡＢに対する円周角∠ＡＣＢが∠ＢＡＴに等しいとき、直線ＡＴは点Ａで円Ｏに接する。
方べきの定理の逆の証明（パターン③）をまとめると以下のようになります。
定理やその逆の証明では、既習内容を上手に活用できることが大切だと分かります。復習の題材としても最適で、しっかりこなすと非常に力が付きます。
次は方べきの定理やその逆を扱った問題を実際に解いていましょう。