図形の性質｜方べきの定理について

10/31/2021数学Ａ

方べきの定理やその逆を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

問題に添付されている図形を見て、方べきの定理を利用できそうだと気付くのがポイントです。

ここで注意したいのは、方べきの定理を利用するには、円の中心Ｏではなく、２本の弦の交点Ｐに注目することです。

問(1)の解答・解説

問(1)

点 $O$ を中心とする半径 $3$ の円の内部の点 $P$ を通る弦 $AB$ について、$PA \cdot PB=5$ であるとき、次の各問に答えよ。

$2$ 点 $O \ , \ P$ を通る弦 $CD$ について、$OP=x$ とするとき、$PC$ と $PD$ を $x$ を用いて表せ。

問(1)は、線分ＰＣ，ＰＤの長さをＯＰ＝ｘで表す問題です。問(2)を解くための準備だと思って、速やかに解いてしまいましょう。

問(1)の解答例

半径は $3$ より

\begin{align*} \quad OC = OD = 3 \end{align*}

また

\begin{align*} &\quad PC = OC – OP \\[ 7pt ] &\quad PD = OD + OP \end{align*}

$OP = x$ より

\begin{align*} &\quad PC = 3-x \\[ 7pt ] &\quad PD = 3+x \end{align*}

文字式の扱いに不安がある場合、いきなりｘを用いるのではなく、解答例のように立式してからＸに置き換えると良いでしょう。

また、長さを書き込んだ図を見ながら立式することでもケアレスミスを防げるでしょう。

問(1)のポイントと解答例は以下のようになります。

問(1)を解いたら、図に線分ＰＣ，ＰＤの長さを追記しておきましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

点 $O$ を中心とする半径 $3$ の円の内部の点 $P$ を通る弦 $AB$ について、$PA \cdot PB=5$ であるとき、次の各問に答えよ。

線分 $OP$ の長さを求めよ。

問(2)は、線分ＯＰの長さを求める問題です。与えられた等式ＰＡ・ＰＢ＝５と問(1)の結果を利用します。

ここではｘの値が分かれば良いので、「ｘについての方程式を導出できないか」と考えるのがこの問題のポイントです。すでに等式が与えられているので、この等式を上手に使います。

図形の問題でＰＡ・ＰＢのような線分の積が出てくれば、ほぼ方べきの定理で間違いありません。

実際に方べきの定理を利用して立式してみると、立式した左辺が等式の左辺と同じになります。このことを利用して、ｘについての方程式を導出します。

問(2)の解答例

方べきの定理より

\begin{align*} \quad PA \cdot PB = PC \cdot PD \end{align*}

ここで

\begin{align*} \quad PA \cdot PB = 5 \end{align*}

であるので

\begin{align*} \quad PC \cdot PD = 5 \end{align*}

これと問 $(1)$ より

\begin{align*} \quad (3-x)(3+x) = 5 \end{align*}

これを解くと

\begin{align*} &\quad 9-x^2 = 5 \\[ 7pt ] &\quad x^2 = 4 \end{align*}

$x \gt 0$ より

\begin{align*} \quad x = 2 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad OP = 2 \end{align*}

ｘについての２次方程式を導出することができます。これを解けばｘの値、すなわちＯＰの長さを求めることができます。

問(2)のポイントと解答例は以下のようになります。

よく間違えるのは、円の中心に注目してしまうことです。注目するのは弦の交点です。方べきの定理が成り立つときの図形の条件をしっかり覚えましょう。

線分の積が出てきたら、方べきの定理を使ってみよう。

Recommended books

紹介するのは、高校数学の授業についていけずに焦っている人向けの教材です。授業についていけない原因は色々と考えられますが、その中でも中学で学習した内容を理解していないことが大半を占めているかもしれません。

高校１年生の場合、数学の内容はほとんどが中学の応用みたいなものです。ですから、予習が進まない、授業についていけない、などがあれば、中学の学習内容を確認することをお勧めします。確認すれば分かりますが、意外と理解していなかったことに気付くはずです。

高校２，３年生にとっては、今さら中学の復習なんかやってられないと思うかもしれません。しかし、理解できない箇所が出てくれば、嫌でも前の単元に戻らなければなりません。そうやって単元をさかのぼっていくと、結局、中学内容に行き着くことも少なくありません。

特に、苦手科目については効果的だと思います。高校での学習に行き詰っている人は、変なこだわりを捨てて、中学内容まで戻ってみると良いでしょう。案外、もっと早く取り組んでいれば良かったと思うかもしれません。

オススメ－『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズ

学習内容の理解の深度を知るには、問題を解くことが一番分かりやすいです。レベル別に問題を解けば、理解度をより詳細に知ることができるでしょう。このことは、中学内容だろうと高校内容だろうと変わりません。

『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズは、高校入試対策用の問題集になりますが、頻出の問題を扱っているので、重要事項やその使い方を効率良く確認することができます。

高校入試「解き方」が身につく問題集シリーズ

入試レベルなので応用的な問題が多いですが、高校の授業についていくにはそのくらいの理解度が必要です。つまり、高校数学についていけないとすれば、中学数学の応用レベルに達していない箇所が足枷になっている可能性が高いです。

目安としては、高校入試レベルの問題が８割以上解けることを目標にすると良いでしょう。８割取れるようになれば、高校の学習において、多少の躓きはあっても遅れを取ることは少ないでしょう。

「暗記では解けない問題の解き方」を身につける！
★「出題頻度が高い」＆「解き方にコツがある」問題をマスターして得点アップ！
公立高校入試の問題は、難度の幅が広く、暗記で解ける問題と解き方（考え方）が必要な問題があります。一部の問題は演習量よりも、解き方を押さえてから演習したほうが効率的に点数を上げることができます。本書で選んだ問題をマスターすることで、入試の得点アップにつながります。
★徹底的に「解き方」に焦点を当てた解説！
「例題」「解き方チェック問題」「実践問題の解答解説」のすべてで「解き方」のチェックポイントに沿った解説をしています。